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目捶ǎ���系牧��允怯梦耷钚×坷炊ㄒ宓囊桓隼硐敫拍睢Ｕ飧鑫耷钚×浚�坪趵嗨朴谫だ锫缘摹凹�阜勰�薄Ｕ饫镉幸桓隼�眩阂涣７勰┯忻挥刑寤�咳绻�寤��0，加起来岂不还是0？如果体积不是0，无穷粒粉末加起来体积又怎能有限呢？可能亚里士多德已经看到了这个困难，所以坚决反对直线（或物体）由无穷多个点组成。但是，正如伽里略指出的那样，有穷个不可分的东西组成的东西，又怎能连续变化呢？我们拿个放大镜来看看数轴吧，先看无理数，我们去看л，先找到3这个点，再找到这个点，再继续下去，我们会发现这个点始终是无法确定的，无理数就象一个不停摇摆的乱动的一个不确定的点，永远无法精确，而且没有规律。而正好是这样的数把以前我们认为是由一个个孤立的点组合起来的数轴变成了一跟完整连续的直线。看起来这个答案很完美，但我们计算圆面积的时候用的公式我们会发现永远无法得到一个精确的值，因为л无法精确，我们只能取其近似值，也就是说л是相对精确的。

那么其他的数呢？我问你，离1最近的数是哪个数？　……。数学上怎么描述这个数呢？我们会用极限这个概念，比如…。的极限等于1。如果我问你，1……。。等于多少？无穷小！极限和无穷小的概念是微积分的基础，也是物理学的数学基础，它能够计算物体在动态中的状态。比如瞬时速度：说汽车1小时行驶60公里，或说汽车的速度是60公里／小时，这是个大致的说法。因为汽车在这一段时间内时慢时快。起动时，停车时，过人行横道时，就要慢些，其它时间要快些，路面好的时候就更快些。因此，用物体走过的距离除以所用的时间，得到的是平均速度，不是物体的真正速度。那么，我们测量一下物体在几秒钟之内走的距离，用这几秒的时间来除，得到的速度总该是物体的真正速度了吧？还不行。这是这几秒之内的平均速度。子弹从射出枪口到击中靶心，只有几分之一秒的时间，这么短的时间之内，速度就有很大变化，出枪口时比击中靶心时就明显地快些。我们可以把时间间隔再取得小一点，看看物体在秒，秒内走了多远，以了解物体的真实速度。但无论怎么小的时间间隔，总不是一瞬间，不是一个时刻，而是两个时刻之间的一段时间。求出来的总是这一段时间内的平均速度。而我们希望知道的真正速度，是物体在某一时刻的速度，是所谓瞬时速度．为了解决这个问题，牛顿和莱布尼兹发明了微积分并把它运用到物理学上，为了求运动着的物体在某一时刻t0的瞬时速度，先要知道从数学上看什么叫瞬时速度。因此，牛顿面临的是两个任务：第一，定义出数学上的瞬时速度的概念；第二，给出具体计算瞬时速度的方法。

如果眼睛只盯着t0；这一个时刻，那是毫无法子可想的。因为时间固定了，物体的位置也固定了。想知道速度，得让物体动一动。也就要让时间变一变。让时间从t0变到t1，这段时间记作⊿t＝t1一t0，而这段时间物体走过的距离记作⊿s。比值⊿s／⊿t，当然是在t0到t1这段时间内的平均速度。牛顿合理地设想：⊿t越小，这个平均速度就应当越接近物体在时刻t0时的瞬时速度。当⊿t越来越小，当然⊿s也越来越小的时候，最后成为无穷小（微分）、就要成为0而还不是0的时候，比值⊿s／⊿t作为两个无穷小（微分）之比，就是所要的瞬时速度。

这里就存在一个问题，什么是要成为0而还不是0的时候？牛顿自己也说不清楚。19世纪，康托、戴金德和柯西证明了：瞬时速度等于平均速度在⊿t趋向于0的时候的极限。柯西建立了一套严格的语言来说明什么叫做变量的极限。粗略而直观地说，如果变量到后来可以充分接近某个常量，就说这个常量是变量的极限，而变量的变化范围可以是全体实数。但这里还是有问题的，无穷小和极限是精确的吗？……这个数字并不是精确的，说它等于1也不是精确的。如果…。=1；那么也可以等于1，那就乱套了。所以数字也是相对精确的。那么1呢？精确吗？

我们先去看一下几何再回过头来解释这个问题，欧几里德——约当公元前300年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》直到现在还是中学教科书中的主要内容，也是毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，也是西方数学和哲学的精髓。欧几里德的《原本》，是一个精致地借助演绎推理展开的系统。它从定义、公设、公理出发，一步一步地推证出了大量的，丰富多采的几何定理。他尽力对每一个几何术语加以定义。